Question

3．如图，抛物线y=-x²+2x+3经过点A、B、C，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，则实数m的变化范围为-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

Answer 1

分析 先求得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，设点N的坐标为（1，n），0≤n≤4，依据待定系数法求得NC的解析式（用含n的式子表示），然后根据相互垂直的两直线的一次项系数为-1可得到直线MN的一次项系数，然后由点N的坐标可求得MN的解析式（用含n的式子表示），接下来，令y=0可求得m的值（用含n的式子表示），最后依据二次函数的性质求得m的最大值和最小值即可求得m的取值范围．

解答 解：如图所示：
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
∵将x=0代入y=-x²+2x+3得：y=3，
∴C（0，3）．
设点N的坐标为（1，n），0≤n≤4．
设直线CN的解析式为y=kx+3．
将N（1，n）代入得：k+3=n，解得：k=n-3．
∵∠MNC=90°，
∴直线NM的一次项系数为$\frac{1}{3-n}$．
设直线MN的解析式为y=$\frac{1}{3-n}$x+b．
∵将N（1，n）代入得：$\frac{1}{3-n}$+b=n，解得：b=n-$\frac{1}{3-n}$，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{1}{3-n}x+$n-$\frac{1}{3-n}$．
∵当y=0时，$\frac{1}{3-n}x+$n-$\frac{1}{3-n}$=0，
解得：x=n²-3n+1，即m=n²-3n+1．
∵m=n²-3n+1=（n-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∴当n=$\frac{3}{2}$时，m有最小值-$\frac{5}{4}$．
当n=4时，m有最大值，m的最大值=4²-3×4+1=5．
∴m的取值范围是：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．
故答案为：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等知识点，得到m与n的函数关系式是解题的关键．