Question

2．如图，△ABD和△AEC都是等边三角形．
（1）求证：BE=DC．
（2）猜想：∠1=60°
（3）试对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．
（2）根据题意得到结论；
（3）根据△DAC≌△BAE，得出∠ADC=∠ABE，再根据三角形的外角得出∠DPE=∠BDP+∠DBP=120°，最后根据平角的性质求出∠1的度数．

解答 解：（1）过点D作DM⊥BE，CN⊥BE，
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC．

（2）∠1=60°；
故答案为：60；

（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠DPE=∠BDP+∠DBP
=∠BDP+∠DBA+∠ABE
=∠BDP+∠ADC+∠DBA
=60°+60°
=120°，
∴∠1=180°-120°=60°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，用到的知识点是解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．