Question

如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，OA=OB=6，点C在第一象限，∠A=30°，P（m，n）是线段BC上的动点，过点P作BC的垂线a，以直线a为对称轴，将线段OB轴对称变换后得线段O′B′，
（1）当点B′与点C重合时，m的值为

 

；
（2）当线段O′B′与线段AC没有公共点时，m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据折叠的性质可知，当点B′与点C重合时，点P是BC的中点，过C点作CD⊥AB于点D，根据三角函数可求CD和BD的长，依此可得C点坐标，再根据中点坐标公式即可求解；
（2）分线段O′B′在线段AC的上面和线段O′B′在线段AC的下面两种情况讨论即可求解．

解答：解：（1）过C点作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△ABC中，OA=OB=6，∠A=30°，
∴BC=6，∠B=60°，
∴在Rt△ABC中，BD=3，CD=3

3

，
∴OD=6-3=3，
∴C点坐标为（3，3

3

），D点坐标为（3，0），
∴当点B′与点C重合时，P点坐标为（

9

2

，3

3 3

2

），
∴m的值为

9

2

；
（2）线段O′B′在线段AC的上面，
CB′＞6×

1

2

=3，
BB′＞6+3=9，
6-9×

1

2

=

3

2

，
（

3

2

+6）÷2=

15

4

，
则3≤m＜

15

4

；
线段O′B′在线段AC的下面，

9

2

＜m≤6．
综上所述，3≤m＜

15

4

或

9

2

＜m≤6．
故答案为：

9

2

； 3≤m＜

15

4

或

9

2

＜m≤6．

点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，三角函数，中点坐标公式，以及分类思想的运用．