Question

16．△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当S_△DEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC时，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出BD：DF=EC：DE，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的$\frac{1}{4}$，求出DH的长，进而利用S_△DEF的值求出EF即可．

解答 解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
理由如下：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{EC}{DE}$
∵BD=CD，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{EC}{DE}$．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²，
∴AD=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×12×8=48．
S_△DEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×48=12．
又∵$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$AB•DH，
∴DH=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{8×6}{10}$=4.8，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD   
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=4.8．
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×EF×DG=12，
∴EF=$\frac{12}{\frac{1}{2}DG}$=5．

点评 本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．