Question

在平面直角坐标中，点A（0，3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A，B，C三点围成等腰直角三角形时，求点B，C的坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：根据题意，B和C不能作为等腰直角三角形的顶点，画出符合条件的两种情况：过A作直线EF⊥y轴，过C作CM⊥EF于M，作BN⊥EF于N证△AMC≌△BNA，根据全等三角形的性质得出AN=CM=3，OC=AM=BN=1，即可得出答案．

解答：解：根据题意：B和C不能作为等腰直角三角形的顶点，
有两种情况：①如图1所示：

B在y轴的右边，C在x轴的负半轴上，
当A为直角顶点时，AC⊥AB，过A作直线EF⊥y轴，过C作CM⊥EF于M，作BN⊥EF于N，
∵点A（0，3），点B的纵坐标为2，
∴CM=3，BN=3-2=1，
则∠BNA=∠CMA=∠CAB=90°，
所以∠CAM+∠MCA=90°，∠CAM+∠NAB=90°，
所以∠MCA=∠NAB，
在△AMC和△BNA中，

∠AMC=∠BNA ∠MCA=∠NAB AC=AB

，
∴△AMC≌△BNA（AAS），
∴AN=CM=3，OC=AM=BN=1，
即此时B的坐标是（3，2），C的坐标是（-1，0）；
②如图2所示：

B在y轴的左边，C在x轴的正半轴上，
当A为直角顶点时，AC⊥AB，过A作直线EF⊥y轴，过C作CM⊥EF于M，作BN⊥EF于N，
∵点A（0，3），点B的纵坐标为2，
∴CM=3，BN=3-2=1，
则∠BNA=∠CMA=∠CAB=90°，
所以∠CAM+∠MCA=90°，∠CAM+∠NAB=90°，
所以∠MCA=∠NAB，
在△AMC和△BNA中，

∠AMC=∠BNA ∠MCA=∠NAB AC=AB

，
∴△AMC≌△BNA（AAS），
∴AN=CM=3，OC=AM=BN=1，
即此时B的坐标是（-3，2），C的坐标是（1，0）．
所以B（3，2）C（-1，0）或B（-3，2）C（1，0）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定的应用，用了分类讨论思想，能求出所以情况是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．