Question

证明：

1

3

≤

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

＜

1

2

（n为正整数）．

Answer 1

分析：利用

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）把

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

（n为正整数）的每个分数进行转化得到

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

），然后进行括号内的加减运算，最后得到

n

2n+1

，n为正整数，当n=1时

n

2n+1

最小；并且

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

，即可得到结论．

解答：证明：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

•

2n

2n+1

=

n

2n+1

，
∵

1

2×1+1

≤

n

2n+1

＜

n

2n

，（n为正整数，n=1时

n

2n+1

最小），
∴

1

3

≤

n

2n+1

＜

1

2

，
∴

1

3

≤

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

＜

1

2

（n为正整数）．

点评：本题考查了有理数的混合运算：当n为正整数，分数

1

(2n+1)(2n-1)

可化为分数

1

2n-1

与

1

2n+1

分数的差的

1

2

．