Question

2．如图，平行四边形ABCD中，点E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，连接BF，∠AFB=∠EFB，G在BF上，连接AG、EG，FG平分∠AGE．
（1）求证：AF=EF；
（2）若AG=CE，BG=BC，求证：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

Answer 1

分析 （1）根据题意推知△EAG为等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质证得结论；
（2）如图，连接EB．构建全等三角形△BGE≌△BCE（SSS），结合全等三角形的对应角相等和平行四边形的对边相互平行的性质推知∠ECB=∠ABE=∠GAB=2∠ABF，∠AGF=∠ABF+∠GAB，
所以∠AGF=3∠ABF，即：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

解答 （1）证明：∵∠AFB=∠EFB，
∴∠AFB=∠EFB=90°，即FG⊥AE．
又∵FG平分∠AGE，
∴AF=EF；

（2）解：如图，连接EB．
由（1）知，FG⊥AE，
又∵AF=EF，
∴BE=AB．
∵AG=EC=EG，
∴在△BGE与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=EC}\\{BG=BC}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△BCE（SSS），
∴∠BEG=∠BEC．
又∵EC∥AB，
∴∠ECB=∠ABE=∠GAB=2∠ABF，∠AGF=∠ABF+∠GAB，
∴∠AGF=3∠ABF，即：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意题中辅助线的作法是解题的难点．