Question

12．如图1，在△ABC中，AB=AC，点E是BC上一点，点D是AE上一点，且∠BDE=∠BAC，CF∥BD，交AE的延长线于点F．
（1）探究线段AD与CF的数量关系．
（2）若将“AB=AC，点E是BC上一点，点D是AE上一点”改为“AB=kAC，点E是BC延长线上一点，点D是EA延长线上一点”，其他条件不变，如图2，若AD=n，AF=m，∠BAC=α，求BD的长（用含m，n，k，α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）在线段AE上取一点M，使得CM=CF，由∠BDE=∠BAC得，∠DBA+∠BAD=∠CAE+∠BAD，故∠DBA=∠CAE，再由CF∥BD，推出∠ADB=∠AMC，即可证明△ABD≌△CAM，得出结论AD=CF；
（2）作∠CGF=∠D=α=∠BAC，点G在DF的延长线上，先判定△DAB∽△GCA，得到CG=$\frac{1}{k}$AD=$\frac{n}{k}$，再作CH⊥FG于H，则GF=2HG，得到GF=2HG=2×cosα×$\frac{n}{k}$，进而得出AG=AF+FG=m+2×cosα×$\frac{n}{k}$，最后根据△DAB∽△GCA，得出BD=k×AG=k（m+2×cosα×$\frac{n}{k}$）=km+2ncosα即可．

解答 解：（1）结论：AD=CF，
理由如下：在线段AE上取一点M，使得CM=CF，连接CM，
∵CF∥BD，
∴∠BDF=∠F，
∵CM=CF，
∴∠F=∠CMF=∠BDF，
∴∠ADB=∠AMC，
∵∠BDE=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠CAE+∠BAD，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CMA}\\{∠DBA=∠CAM}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAM（AAS），
∴AD=CM，
∵CM=CF，
∴AD=CF；

（2）如图2，作∠CGF=∠D=α=∠BAC，点G在DF的延长线上，
∵∠DAB+∠CAG=180°-α，∠GCA+∠CAG=180°-α，
∴∠DAB=∠GCA，
∴△DAB∽△GCA，
∴$\frac{AD}{CG}$=$\frac{AB}{AC}$=k，即CG=$\frac{1}{k}$AD=$\frac{n}{k}$，
∵CF∥DB，
∴∠CFG=∠CGF=α，
∴CF=CG，
作CH⊥FG于H，则GF=2HG，
∵Rt△CHG中，cos∠CGH=$\frac{HG}{CG}$，
即HG=cos∠CGH×CG=cosα×$\frac{n}{k}$，
∴GF=2HG=2×cosα×$\frac{n}{k}$，
∴AG=AF+FG=m+2×cosα×$\frac{n}{k}$，
∵△DAB∽△GCA，
∴$\frac{BD}{AG}$=$\frac{AB}{AC}$=k，
∴BD=k×AG=k（m+2×cosα×$\frac{n}{k}$）=km+2ncosα．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形，根据全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导计算．解题时注意等腰三角形具有三线合一的性质．