Question

7．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，$\widehat{AB}$的长度为$\frac{4}{3}$π，求△ABC的边长．

Answer 1

分析 连接OA、OB，作OD⊥AB于D，根据等边三角形的性质求出∠AOB，根据弧长公式求出半径，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理求出△ABC的边长．

解答 解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正△ABC的外接圆，
∴∠AOB=120°，
由题意得，$\frac{120×π×OA}{180}$=$\frac{4}{3}π$，
解得，OA=2，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{3}$，
则AB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的性质，掌握等边三角形的性质、垂径定理、弧长的计算公式是解题的关键．