Question

16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作⊙O的直径CD，连接BD．
（1）求证：∠BDC=2∠ABD；
（2）连接OA，求证：OA∥BD；
（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交AC于F，当F为AC的中点时，若DE=4，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA，首先证明∠BAC=2∠ACD，由∠BDC=∠BAC，∠DBA=∠ACD即可解决问题．
（2）欲证明BD∥OA，只要证明∠DBA=∠BAO即可．
（3）如图3中，连接AD，OA与DF交于等K，设OF=a，首先证明OF=KF=a，再证明DA=DK=2a，由△DAE∽△DFA，得$\frac{DA}{DF}$=$\frac{DE}{AD}$，列出方程求出a即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OA，

∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BAC=2∠ACD，
∵∠BDC=∠BAC，∠ABD=∠ACD，
∴∠BDC=2∠ABD．

（2）证明：如图2中，

由（1）可知，∠BAC=∠CAO=∠ACO，
∵∠DBA=∠ACO，
∴∠DBA=∠BAO，
∴OA∥BD．

（3）解：如图3中，连接AD，OA与DF交于等K，设OF=a，

∵OA=OC，AF=CF，
∴FO⊥AC，
∴∠AFO=∠AEK=90°，
∵∠AKE+∠EAK=90°，∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠AKD=∠AOF，
∵∠AKE=∠OKF，
∴∠AOF=∠FKO，
∴OF=FK=a，
∵CD是直径，
∴∠DAC=∠OFC=90°，
∴AD∥OF，AD=2OF=2a，
∴∠DAO=∠AOF=∠AKE，
∴DA=DK=2a，
∵∠ADE=∠ADF，∠AED=∠DAF，
∴△DAE∽△DFA，
∴$\frac{DA}{DF}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴$\frac{2a}{3a}$=$\frac{4}{2a}$，
∴a=3，
∴OF=3．

点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．