Question

17．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可．

解答 解：（1）∵OA⊥BC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE=$\frac{BC}{cos∠B}$=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理和圆周角定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．