Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于点G
求证：（1）DF=AC；（2）GD=GE．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得BC=$\frac{1}{2}$AB、∠ABC=60°，根据等边三角形的性质得DB=AB、∠DBF=60°、BF=$\frac{1}{2}$AB，即可得BF=BC、∠DBF=∠ABC，从而证△DBF≌△ABC得DF=AC；
（2）由等边三角形的性质得AC=AE、∠CAE=60°，结合DF=AC、∠BAC=30°及等腰三角形性质可得DF=EA、∠DFG=∠EAG=90°，从而证△DFG≌△EAG得DG=EG．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，∠ABC=60°，
∵F为AB中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=BC，
又∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，∠ABD=60°，
在△DBF和△ABC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBF=∠ABC=60°}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ABC，
∴DF=AC；

（2）∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，
又∵DF=AC，∠BAC=30°，
∴DF=EA，∠GAE=90°，
∵△ABD为等边三角形，且F为AB中点，
∴DF⊥AB，即∠DFG=90°，
在△DFG和△EAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠EGA}\\{∠DFG=∠EAG}\\{DF=EA}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△EAG（AAS），
∴DG=EG．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．