Question

15．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3OA=6，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B，C的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）先求出MB的解析式，即可得出点P坐标，用面积的和即可得出结论；
（3）先确定直线MB解析式，进而设出点N坐标，分三种情况用两边相等建立方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）∵OB=OC=3OA=6，
∴OA=2，
∴A（-2，0），B（6，0），C（0，6），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C（0，6）代入此解析式中，得，6=a×2×（-6），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8；
∴M（2，8）
∴直线MB的解析式为y=-2x+12
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+12）
S_{四边形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=-m²+9m+6（2≤m＜6）；
（3）存在，
理由：由（1）（2）知，B（6，0），M（2，8），
∴直线BM解析式为y=-2x+12，
设点N（n，-2n+12）（2＜n＜6），
∵C（0，6），
∴MN²=（n-2）²+（-2n+12-8）²=（n-2）²+4（n-2）²=5（n-2）²，
MC²=4+4=8，
NC²=n2+（-2n+12-6）²=n²+（2n-6）²，
∵△NMC为等腰三角形，
①当MN=MC时，∴MN²=MC²，
∴5（n-2）²=8，
∴n=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2或n=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2＜2（舍）
∴N（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2，8-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$），
②当MN=NC时，
∴MN²=NC²，
∴5（n-2）²=n²+（2n-6）²，
∴n=4，
∴N（4，4）
③MC=NC时，∴MC²=NC²，
∴8=n²+（2n-6）²，
∴n=2（舍）或n=$\frac{14}{5}$，
∴N（$\frac{14}{5}$，$\frac{32}{5}$）
∴线段BM上存在点N（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2，8-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$），（　　）4，4），（$\frac{14}{5}$，$\frac{32}{5}$）使△NMC为等腰三角形．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，几何图形面积的计算方法，平面坐标系中两点间的距离公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论思想，是一道中等难度的基本试题．