Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD=EC，AE=DC，即可证到△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）易证AF=CF，设DF=x，则有AF=4-x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．
（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF=∠AFP根据等角对等边得出AF=AP进而得出FC=AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S_菱形=$\frac{1}{2}$PF•AC=AP•AD，即可求得．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△AEC由△ABC翻折得到，
∴AB=AE，BC=EC，∠CAE=∠CAB，
∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，
在△ADE与△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{DE=ED}\\{D=EA}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）解：如图1，∵∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4-x，
在RT△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得；x=$\frac{7}{8}$，
即DF=$\frac{7}{8}$．
（3）解：四边形APCF为菱形，
设AC、FP相较于点O
∵FP⊥AC
∴∠AOF=∠AOP
又∵∠CAE=∠CAB，
∴∠APF=∠AFP
∴AF=AP
∴FC=AP
又∵AB∥CD
∴四边形APCF是平行四边形
又∵FP⊥AC
∴四边形APCF为菱形，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，
∴AC=5，
∵S_菱形=$\frac{1}{2}$PF•AC=AP•AD，
∵AP=AF=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$
∴PF=$\frac{2×\frac{25}{8}×3}{5}$=$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、轴对称的性质等知识，解决本题的关键是明确折叠的性质，得到相等的线段，角．