Question

16．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；
（2）若点P在线段AC上运动，设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）若点P在射线AC上运动，当PH与⊙O相切时，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；
（2）当点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知，$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AC-PC}{AB}$，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式；（3）分两种情况，当P在线段AC上时，根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值，即PC的长；当P在线段AC的延长线上时，同理，利用相似三角形的性质求得y关于x的函数关系式，同理可求得y值，即PC的长．

解答 解：（1）AC=4，AD=3，⊙O的半径长为1．
（如图1，连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
则⊙O的半径r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=$\frac{1}{2}$（4+3-5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3）；
（2）如图1，若点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AC-PC}{AB}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{5}$，
∴y=-$\frac{5}{3}$x+4，即y与x的函数关系式是y=-$\frac{5}{3}$x+4（0≤x≤2.4）；
（3）①当点P在线段AC上时，如图2，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-$\frac{5}{3}$x+4，
∴y=-$\frac{5}{3}$y+4，
解得y=$\frac{3}{2}$；
②同（2），当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，
则$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AC+PC}{AB}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{4+y}{5}$，
∴y=$\frac{5}{3}$x-4，即y与x的函数关系式是y=$\frac{5}{3}$x-4（x＞2.4）；
如图2，当P″H″与⊙O相切时，同①可求得y=1；
综上可知PC的值为$\frac{3}{2}$或1．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、三角形的内切圆等知识点．在（2）中注意分两种情况进行讨论，通过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度．