Question

20、已知关于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实根；
（2）若两⊙O₁、⊙O₂相切，O₁O₂=5，且两圆半径r₁、r₂恰好是此方程的两根，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可．
（2）方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0可以变形为（x-2）（x-k+1）=0，可知两根为2和k-1．再分内切和外切两种情况讨论列方程求解．

解答：解：（1）∵△=b ²-4ac
=[-（k+1）]²-4×（2k-2）
=k ²-6k+9
=（k-3） ²；
∴△=（k-3） ²≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（x-2）（x-k+1）=0，
∴x₁=2，x₂=k-1．
当两⊙O₁、⊙O₂内切时，k-1-2=5，解得k=8；
当两⊙O₁、⊙O₂外切时，k-1+2=5，解得k=4．
故k的值为8或4．

点评：考查解一元二次方程，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，及一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．