Question

如图，在△ABC中，分别在AB、AC上选取E、F两点，使得△AEF沿EF折叠后，点A的对应点D恰好落在BC上，且FD∥AB．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果AB=3，AC=6，求菱形AEDF的边长．

Answer 1

（1）证明：∵FD∥AB，
∴∠1=∠2，
由折叠的性质可得：∠1=∠3，AE=DE，AF=DF，
∴∠2=∠3，
∴DE=DF，
∵AE=DE=DF=AF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）∵FD∥AB，
∴△CFD∽△CAB，
∴=，
∵四边形AEDF是菱形，
∴FD=AF，
∵AB=3，AC=6，
∴，
解得：AF=2，
故菱形AEDF的边长为2．
分析：（1）由FD∥AB，且使得△AEF沿EF折叠后，点A的对应点D恰好落在BC上，易证得△DEF是等腰三角形，即DE=DF，又由AE=DE，AF=DF，即可得AE=DE=DF=AF，即可证得四边形AEDF是菱形；
（2）易证得△CFD∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得菱形AEDF的边长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．