Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心、OA为半径的⊙O切BC于D，连结AD．
（1）求证：AD平分∠CAB．
（2）若∠B=30°，求证：AC²=CD•CB．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；

（2）∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠CAB=60°，
由（1）知∠OAD=∠CAD，则∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
∴AC²=CD•CB．
分析：（1）首先连接OD，由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．
（2）由∠B=30°，易求得∠CAD=∠B，继而证得△CAD∽△CBA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．