Question

【题目】如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）t的值为或．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：

（1）在中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为；

（2）由题意可设P（t，4），则E（t，），∴PB=10﹣t，PE=﹣4=，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴，即BPOD=COPE，∴2（10﹣t）=4（），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；

（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴，即OQAQ=COAB，设OQ=m，则AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8；

①当m=2时，CQ= =，BQ==，∴sin∠BCQ= =，sin∠CBQ==，∴PM=PCsin∠PCQ=t，PN=PBsin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=；

②当m=8时，同理可求得t=，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．