Question

12．已知点P是直角坐标平面内一点，点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
（1）点P关于x轴的对称点的坐标为（1，-$\sqrt{3}$）；
（2）点P关于直线y=x的对称点的坐标为（$\sqrt{3}$，1）；
（3）线段OP绕原点O旋转90°得到线段OB，则点B的坐标为（$\sqrt{3}$-1）或（-$\sqrt{3}$，1）；
（4）若△OPQ为等边三角形，则点Q的坐标为（2，0）或（-1，$\sqrt{3}$）；
（5）若OP为等腰Rt△OPA的腰，且点A在第二象限，则点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）或（-$\sqrt{3}$+1，1+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可解决问题．
（2）点P关于直线y=x的对称点P′，作PE⊥y轴于E，P′F⊥x轴于F．构造全等三角形解决问题即可．
（3）分两种情形讨论即可．
（4）如图，△PQO是等边三角形时，点Q在x轴上，Q（2，0）；△OPQ′是等边三角形时，P与Q′关于y轴对称，Q′（-1，$\sqrt{3}$）．
（5）分两种情形讨论即可．

解答 解：（1）点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$），点P关于x轴的对称点的坐标为（1，-$\sqrt{3}$），
故答案为（1，-$\sqrt{3}$）．

（2）如图，点P关于直线y=x的对称点P′，作PE⊥y轴于E，P′F⊥x轴于F．

由△OPE≌△OP′F，可知PE=P′F=1，OE=OF=$\sqrt{3}$，
∴P′（$\sqrt{3}$，1）．
故答案为（$\sqrt{3}$，1）．

（3）如图观察图象可知，线段OP绕原点O旋转90°得到线段OB，则点B的坐标为（$\sqrt{3}$，-1）或（-$\sqrt{3}$，1）．

故答案为（$\sqrt{3}$，-1）或（-$\sqrt{3}$，1）．

（4）如图，△PQO是等边三角形时，点Q在x轴上，Q（2，0）；△OPQ′是等边三角形时，P与Q′关于y轴对称，Q′（-1，$\sqrt{3}$）．

∴满足条件的点Q坐标（2，0）或（-1，$\sqrt{3}$）．
故答案为（2，0）或（-1，$\sqrt{3}$）．

（5）如图，①当∠AOP=90°，OP=OA时，A（-$\sqrt{3}$，1），
②当∠A′PO=90°，PA′=PO时，A′（-$\sqrt{3}$+1，1+$\sqrt{3}$）．

故答案为（-$\sqrt{3}$，1）或（-$\sqrt{3}$+1，1+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形的变化、等边三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．