Question

3．已知关于x的二次函数y=x²-2ax+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 3
• D． -3

Answer 1

分析 先用配方法把函数化为顶点式的形式，求出其对称轴，再根据二次函数的增减性及题目条件将顶点的横坐标的值分三种情况讨论，从而求出实数a的值．

解答 解：y=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
当a≤1时，函数最小，则x=1，1-2a+3=4-2a=2a，
解得：a=1，
∵当1＜a＜3时，∴x=a时，函数有最小值为：2a，
即3-a²=2a，
解得：a₁=-3（不合题意舍去），a₂=1，
∴a=1；
当a≥3时，x=3时，9-6a+3=2a，
解得：a=$\frac{3}{2}$（不合题意舍去）．
故选：A．

点评 本题考查了求二次函数的最大（小）值的方法．注意，只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．