Question

15．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形．
（1）猜想与计算：
邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出?ABCD是12阶准菱形．
（2）操作与推理：
小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；
（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，

利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：
如图2，

∵b=5r，
∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，
利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：
故答案为：3，12
（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，以及平行四边形的准菱形的理解和应用，解（1）的关键是理解准菱形的意义，解（2）的关键是掌握判断菱形的方法，是一道中考常考题．