Question

10．问题解决：边长为a的两个正方形（阴影部分）如图1所示摆放，则构成的大正方形面积可以表示为（a+a）²或4a²；边长为a，b的两个正方形（阴影部分）如图2所示摆放，大正方形面积可以表示为（a-b）²或a²-2ab+b²；将边长为a、b的两个正方形如图所示叠放在一起，借助图3中的图形面积试写出（a-b）²，a²，b²，ab这四个代数式之间的等量关系：（a-b）²=a²-2ab+b²；

探究应用：（1）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图4，它表示了2m²+3mn+n²=（2m+n）（2m-n），请在下面左边的方框中画出一个几何图形，使它的面积是a²+4ab+3b²，并利用这个图形将a²+4ab+3b²进行因式分解．

提升应用：（2）阅读上面右边方框中的材料，根据你的观察，探究下面的问题：
①a²+b²-4a+4=0，则a=2，b=0；
②已知三角形ABC的三边长a，b，c都是整数，且满足2a²+b²-4a-6b+11=0，求三角形ABC的周长．

Answer 1

分析 问题解决：根据同一图形面积的整体和部分两种方法计算可得；
探究应用：（1）画一个长为（a+3b），宽为（a+b）的矩形即可，由面积的不同表示即可分解因式；
提升应用：（2）①将原式变形为（a-2）²+b²=0，由非负数性质可得答案；②由原式可得2（a-1）²+（b-3）²=0，由非负数性质可得a、b的值，再根据三边关系得出c的值，从而求得周长．

解答 解：问题解决：如图2所示，大正方形面积可以表示为（a+b）²或a²+2ab+b²，
图3中的图形面积为（a-b）²或a²-2ab+b²，
∴（a-b）²=a²-2ab+b²，
故答案为：（a+b）²、a²+2ab+b²、（a-b）²=a²-2ab+b²；

探究应用：（1）画图如下：

a²+4ab+3b²=（a+b）（a+3b）；

提升应用：（2）①∵a²+b²-4a+4=0，
∴（a-2）²+b²=0，
则a-2=0或b=0，
解得：a=2、b=0，
故答案为：2，0；
②∵2a²+b²-4a-6b+11=0，
∴2a²-4a+2+b²-6b+9=0，
∴2（a-1）²+（b-3）²=0，
则a-1=0且b-3=0，
解得：a=1、b=3，
∵3-1＜c＜3+1，且c是整数，
∴c=3，
∴三角形ABC的周长是1+3+3=7．

点评 本题主要考查因式分解的应用、完全平方公式的几何背景及非负数的性质，熟练掌握同一图形面积的整体和部分两种计算方法是解题的关键．