Question

4．现有一张矩形纸片ABCD，要将点D沿某条直线EF翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，直线EF与AD交于点E，与BC交于点F．
（1）请利用尺规作图在图中作出该直线EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，在矩形ABCD中，若AD=10，AB=6，BD′=2，请计算纸片ABCD折叠后产生的折痕EF的长度．

Answer 1

分析 （1）连接DD′，作DD′的垂直平分线即可解决问题；
（2）在Rt△DD′C中，利用勾股定理求出DD′，再根据tan∠EDO=tan∠DD′C，可得$\frac{EO}{OD}$=$\frac{DC}{CD′}$，由此即可求出OE，只要证明OF=OE即可解决问题；

解答 解：（1）如图，直线EF即为所求．
．

（2）设EF交DD′于O．
在Rt△DCD′中，∵∠DCD′=90°，DC=AB=6，CD′=BC-BD′=8，
∴DD′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OD=OD′=5，
∵AD∥BC，
∴∠EDO=∠DD′C，
∴tan∠EDO=tan∠DD′C，
∴$\frac{EO}{OD}$=$\frac{DC}{CD′}$，
∴$\frac{EO}{5}$=$\frac{8}{6}$，
∴EO=$\frac{20}{3}$，
∵$\frac{EO}{OF}$=$\frac{OD}{OD′}$=1，
∴OF=OE=$\frac{20}{3}$，
∴EF=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查轴对称变换、矩形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．