Question

如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，P是BC边上一点且不与B重合，连结AP，过点P作∠CPD=∠APB，交x轴于点D，交y轴于点E，过点E作EF∥AP交x轴于点F．
（1）若△APD为等腰直角三角形，求点P的坐标；
（2）若以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠PAD=∠PDA=45°，然后根据矩形的性质求得∠1=∠2=45°，进而求得AB=BP=2即可求得．
（2）根据平行四边形的性质得出PD=DE，根据矩形的性质以及已知条件求得PD=PA，进而求得DM=AM，然后通过得出△PDM≌△EDO得出OD=DM=MA=1，EO=PM=2，即可求得．

解答：解：（1）如图1，∵△APD为等腰直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠PAD=∠PDA=45°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OA∥BC，∠B=90°，AB=OC，
∴∠1=∠2=45°，
∴AB=BP，
又∵OA=3，OC=2，
∴BP=2，CP=1，
∴P（1，2），

（2）如图2∵四边形APFE是平行四边形，
∴PD=DE，
∵OA∥BC，
∴∠CPD=∠4，∠1=∠3，
∵∠CPD=∠1，
∴∠3=∠4，
∴PD=PA，
过P作PM⊥x轴于M，
∴DM=MA，
又∵∠PDM=∠EDO，∠PMD=∠EOD=90°，
在△PDM与△EDO中，

∠PDM=∠EDO ∠PMD=∠EOD=90° PD=PA

，
∴△PDM≌△EDO（AAS），
∴OD=DM=MA=1，EO=PM=2，
∴P（2，2），E（0，-2），
∴PE的解析式为：y=2x-2；

点评：本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质以及三角形全等的判定及性质，平面直角坐标系中点的坐标的确定等．