Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=15cm，BC=20cm．点D从点B出发沿线段BC向点C匀速运动，点E同时从点A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度均为1cm/s．当一个点到达终点时另一个点也停止运动．连接DE，设点D的运动时间为t（s），△CDE的面积为S（cm²）．
（1）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）t为何值时，S等于△ABC的面积的一半？
（3）将线段DE绕点E逆时针旋转45°，得到线段D′E，过点D作DF⊥D′E，垂足为F，连接CF．在点D、E运动过程中，线段CF的长是否变化？若不变，求出其值，若变化，求出它与t的函数关系式．

Answer 1

考点：相似形综合题,解一元二次方程-因式分解法,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：压轴题

分析：（1）根据题意可以用t的代数式表示CD、CE的长，就可求出S与t的函数关系式以及t的取值范围．
（2）根据S等于△ABC的面积的一半建立方程，解这个方程就可求出对应的t的值．
（3）利用相似三角形的判定与性质可以推出EC•DF+DE•FC=DC•EF；由∠DFE=90°，∠DEF=45°可得EF=DF=

2

2

DE；从而可以得到EC+

2

FC=DC，进而求出FC=

5 2

2

，是一个定值．

解答：解：（1）如图1，
由题可得：BD=1×t=t（cm），AE=1×t=t（cm）．
∵AC=15cm，BC=20cm，
∴CD=（20-t）cm，CE=（15-t）cm．
∵∠ACB=90°，
∴S△CDE=

1

2

(20-t)(15-t)=

1

2

t2-

35

2

t+150．
∵点D到达终点的时间为20÷1=20（秒），
点E到达终点的时间为15÷1=15（秒），
∴0＜t＜15．
∴S与t的函数关系式为S=

1

2

t²-

35

2

t+150，t的取值范围是0＜t＜15．
（2）当S=

1

2

S_△ABC时，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×15×20=150，
∴

1

2

t2-

35

2

t+150=75．
整理得：t²-35t+150=0．
则有（t-30）（t-5）=0．
解得：t₁=30，t₂=5．
∵0＜t＜15，
∴t=5．
∴当t等于5秒时，S等于△ABC面积的一半．
（3）线段CF的长度不变化，是一个定值，长度为

5 2

2

．
证明：作∠GFD=∠CFE，交DC于点G，如图2，
∵DF⊥ED′，∠ACB=90°，
∴∠DFO=∠OCE=90°．
∴∠FDO=90°-∠FOD，∠CEO=90°-∠COE．
∵∠FOD=∠COE，
∴∠FDO=∠CEO．
∵∠GFD=∠CFE，∠FDG=∠CEF，
∴△DGF∽△ECF．
∴

DG

EC

=

DF

EF

．
∴EC•DF=DG•EF．
∵∠DFO=∠OCE，∠FOD=∠COE，
∴△DFO∽△ECO．
∴

OF

OC

=

OD

OE

．
∵∠FOC=∠DOE，
∴△FOC∽△DOE．
∴∠FCO=∠DEO．
∵∠GFD=∠CFE，
∴∠DFO=∠CFG．
∵∠DFE=∠CFG，∠DEF=∠FCG，
∴△DFE∽△GFC．
∴

DE

GC

=

FE

FC

．
∴DE•FC=GC•EF．
∴EC•DF+DE•FC=DG•EF+GC•EF=DC•EF．
∵∠DFE=90°，∠DEF=45°，
∴∠FDE=∠DEF=45°．
∴sin∠FDE=

EF

DE

=

2

2

，sin∠FED=

DF

DE

=

2

2

．
∴EF=DF=

2

2

DE．
∴EC•

2

2

DE+DE•FC=DC•

2

2

DE．
∴EC+

2

FC=DC．
∴FC=

DC-EC

2

=

(20-t)-(15-t)

2

=

5 2

2

．
∴线段CF的长度不变化，是一个定值，长度为

5 2

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、特殊角的三角函数值等知识，而通过构造相似三角形证出EC•DF+DE•FC=DC•EF是解决第三小题的关键．