Question

如图，一次函数y=mx+5的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点A（1，n）和点B（4，1）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在直线x=-1上确定一点P，使PA+PB的值最小，求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）过点B（4，1），
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=1时，y=4，
∴A（1，4），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为：y=-x+5；

（2）过点A作关于直线x=-1的对称点A′，连接A′B交直线x=-1于点P，则P点为使PA+PB的值最小的点．
由对称性可知A′（-3，4），
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
则直线A′B的解析式为：y=-x+，
当x=-1时，y=，
故点P的坐标是（-1，）．
分析：（1）由反比例函数y=（k≠0）过点B（4，1），可求得反比例函数的解析式，则可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）首先过点A作关于直线x=-1的对称点A′，连接A′B交直线x=-1于点P，P点为使PA+PB的值最小的点．由对称性可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线A′P的解析式，则可求得点P的坐标．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求函数的解析式以及最短路径问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．