Question

13．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分別在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），那么
①∠E′AF度数30°②线段BE、EF、FD之间的数量关系BE+DF=EF
（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等，判定△AEF≌△AE′F，进而根据线段的和差关系得出结论；
（2）先在BE上截取BG=DF，连接AG，构造△ABG≌△ADF，进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定△GAE≌△FAE，最后根据线段的和差关系得出结论．

解答 解：（1）①如图2，

将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则
∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
②由①知∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠FAE′}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，
故答案为：①30°；②BE+DF=EF；

（2）如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，

在△ABG和△ADF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，
∵∠DAF+∠DAE=30°，
∴∠BAG+∠DAE=30°，
∵∠BAD=60°，
∴∠GAE=60°-30°=30°，
∴∠GAE=∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=FE，
又∵BE-BG=GE，BG=DF，
∴BE-DF=EF，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE-DF=EF．

点评 本题主要考查旋转的性质，熟练掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．