Question

5．（1）求函数y=x²+tx+1，-1≤x≤1的最小值；
（2）求函数y=x²+tx+1，-1≤x≤1的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得二次函数的对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{t}{2}$，然后分①-$\frac{t}{2}$≤-1，②-1＜-$\frac{t}{2}$＜1，③-$\frac{t}{2}$≥1三种情况，根据二次函数的增减性解答．
（3）求得二次函数的对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{t}{2}$，然后分①-$\frac{t}{2}$≤-1，②-1＜-$\frac{t}{2}$＜0，③-$\frac{t}{2}$=0，④0＜-$\frac{t}{2}$＜1，⑤-$\frac{t}{2}$≥1五种情况，根据二次函数的增减性解答．

解答 解：（1）∵y=x²+tx+1对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{t}{2}$，且a=1＞0，
①-$\frac{t}{2}$≤-1时，-1≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，
当x=-1时，y最小，最小值y=1-t+1=2-t，
②-1＜-$\frac{t}{2}$＜1时，
当x=-$\frac{t}{2}$时有最小值，最小值y=（-$\frac{t}{2}$）²-$\frac{t}{2}$×t+1=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
③-$\frac{t}{2}$≥1时，-1≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，
当x=1时，y最小，最小值y=1+t+1=2+t；
（2）∵y=x²+tx+1对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{t}{2}$，且a=1＞0，
①-$\frac{t}{2}$≤-1时，-1≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，
当x=1时，y最大，最大值y=1+t+1=2+t；
②-1＜-$\frac{t}{2}$＜0时，当x=-1有最大值，最大值y=1-t+1=2-t，
③-$\frac{t}{2}$=0时，x=1或-1时有最大值，最大值y=1+1=2，
④0＜-$\frac{t}{2}$＜1时，当x=1有最大值，最大值y=1+t+1=2+t；
⑤-$\frac{t}{2}$≥1时，-1≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，
当x=-1时，y最大，最大值y=1-t+1=2-t．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．