Question

14．几何证明．
如图，已知四边形ABCD的两条对角线AC和BD互相垂直且相等，顺次连接该四边形四边的中点E、F、G、H．试判断四边形EFGH的形状并证明．

Answer 1

分析 四边形EFGH的形状是正方形，先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．

解答 解：四边形EFGH的形状是正方形，
理由如下：
在△ABC中，F、G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG=$\frac{1}{2}$AC，同理EH=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
在四边形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AD、CD的中点，
则EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 此题考查了正方形的判定，解题的关键是了解既是矩形又是菱形的四边形是正方形，难度适中．