Question

6．在△ADE中，∠E=22°，延长AD至点B，使得BD=AD，过B点作BC⊥AE，垂足点C，线段BC交边DE于点F，且EF=AB，求∠ADE．

Answer 1

分析 取EF中点G，连结CD、CG．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CG=EG=FG=$\frac{1}{2}$EF，由EF=AB，得到CG=CD，那么∠CDG=∠CGD．再根据等边对等角的性质以及三角形外角的性质求出∠GCE=∠E=22°，∠CGD=∠GCE+∠E=44°，∠CDG=∠CGD=44°，∠ACD=∠CDG+∠E=44°+22°=66°，∠A=∠ACD=66°，然后根据三角形内角和定理得到∠ADE=180°-∠A-∠E=92°．′

解答 解：如图，取EF中点G，连结CD、CG．
∵BC⊥AE，垂足点C，
∴∠ACB=∠ECF=90°，
∵BD=AD，EF中点G，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CG=EG=FG=$\frac{1}{2}$EF，
∵EF=AB，
∴CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD．
∵CG=EG，
∴∠GCE=∠E=22°，
∴∠CGD=∠GCE+∠E=44°，
∴∠CDG=∠CGD=44°，
∴∠ACD=∠CDG+∠E=44°+22°=66°．
在△ACD中，∵CD=AD，
∴∠A=∠ACD=66°，
∴∠ADE=180°-∠A-∠E=180°-66°-22°=92°．

点评 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，难度适中．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作出辅助线构造等腰三角形CDG是解题的关键．