Question

已知：抛物线y=x²+（m-1）x+m-2与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜1＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）记抛物线与y轴的交点为C，P（x₃，m）是线段BC上的点，过点P的直线与抛物线交于点Q（x₄，y₄），若四边形POCQ是平行四边形，求抛物线所对应的函数关系式．

Answer 1

解：（1）解法一：∵抛物线开口向上，当x=1时，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
则m的取值范围是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
由求根公式可得：x₁=-1，x₂=2-m，
∵x₁＜1＜x₂，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范围是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B点坐标为：（2-m，0），C点坐标为：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：
，
解得：，
故直线BC所对应的函数关系式为：y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：m=x₃+m-2，
解得：x₃=2，
∵四边形POCQ是平行四边形，∴PQ⊥x轴，
∴x₄=2，
y₄=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y₄=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x²-3x-4，
解法二：直线BC所对应的函数解析式为y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：x₃=2，
求出OP方程：y=x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=x+m-2，
+m-2=x²+（m-1）x+m-2，
解得：x₄=1-，
由1-=x₃=2，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x²-3x-4．
分析：（1）利用抛物线开口向上，当x=1时，y＜0，进而求出m的取值范围即可；也可利用求根公式以及根的判别式求出即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，进而求出P，Q点横坐标，再利用平行四边形的性质求出CO=PQ，进而求出m的值，得出抛物线所对应的函数关系式即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出CO=PQ进而用m表示出两线段长是解题关键．