Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm2，点P的运动时间为ts．

（1）当t为 时，点A′与点C重合；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）请直接写出当射线PQ将A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．

Answer 1

【答案】（1）1s；（2）s=﹣42t2+72t﹣24．（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）证明△ADP∽△ACB，从而可得AD=4t，由折叠可得AA′=2AD=8t，由点A′与点C重合可得8t=8，从而可以求出t的值．

（2）分三种情况讨论：①当0＜t≤时，过点 A′作A′M⊥PG于M，证明△BPQ∽△BAC．得出∠BQP=∠BCA．证出PQ∥AC，证明四边形APGA′是平行四边形，得出PG=AA′=8t，即可得出结果；

②当＜t≤1时，过点 A′作A′M⊥PG于M，则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．由S=S△A′PG﹣S△GQF，即可得出结果．

③当1＜t＜2时，证出PB=PS．得出BQ=SQ．因此SQ=6﹣3t，即可得出结果．

（3）可分①S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，如图4，②S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图5，两种情况进行讨论，就可解决问题．

解：（1）根据题意得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．

∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，

∴BC=6．

∵∠ADP=∠ACB=90°，

∴PD∥BC．

∴△ADP∽△ACB．

∴==．

∴==．

∴AD=4t，PD=3t．

∴AA′=2AD=8t．

当点A′与点C重合时，AA′=AC．

∴8t=8．

∴t=1；

故答案为：1s．

（2）①当0＜t≤时，

过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图1所示，

则有A′M=CQ=3t．

∵==，==，

∴=，

∵∠PBQ=∠ABC，

∴△BPQ∽△BAC．

∴∠BQP=∠BCA．

∴PQ∥AC．

∵AP∥A′G．

∴四边形APGA′是平行四边形．

∴PG=AA′=8t．

∴S=S△A′PG=PGA′M

=×8t×3t=12t2．

②当＜t≤1时，

过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图2所示，

则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．

∴S=S△A′PG﹣S△GQF

=PGA′M﹣QGQF

=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）

=﹣42t2+72t﹣24．

③当1＜t＜2时，如图3所示，

∵PQ∥AC，PA=PA′

∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．

∴∠BPQ=∠QPA′．

∵∠PQB=∠PQS=90°，

∴∠PBQ=∠PSQ．

∴PB=PS．

∴BQ=SQ．

∴SQ=6﹣3t．

∴S=S△PQS=PQQS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t2﹣24t+24．

综上所述：当0＜t≤时，S=12t2；

当＜t≤1时，S=﹣42t2+72t﹣24；

当1＜t＜2时，S=6t2﹣24t+24．

（3）①若S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，

过点A′作A′M⊥PG，垂足为M，过点A′作A′T⊥PB，垂足为T，如图4所示，

则有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．

∴S△A′PG=×8t×3t=12t2．

∵S△APA′=APA′T=AA′PD，

∴A′T===t．

∴SPBEA′=PBA′T=（10﹣5t）×t=24t（2﹣t）．

∵S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，

∴S△A′PG=×SPBEA′．

∴12t2=×24t（2﹣t）．

∵t＞0，

∴t=．

②若S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图5所示，

同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6﹣3t，PQ=8﹣4t，平行四边形PBEA′的面积=24t（2﹣t）．

∵四边形PBEA′是平行四边形，

∴BE∥PA′．

∴∠BNP=∠NPA′．

∴∠BPN=∠BNP．

∴BP=BN．

∵∠BQP=∠BQN=90°，

∴PQ=NQ．

∴S△BPN=PNBQ=PQBQ

=（8﹣4t）×（6﹣3t）．

∵S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，

∴S△BPN=×SPBEA′．

∴（8﹣4t）×（6﹣3t）=×24t（2﹣t）．

∴（8﹣4t）×（6﹣3t）=×24t（2﹣t）．

∵t＜2，

∴t=．

综上所述：当射线PQ将A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为秒或秒．