Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O，与斜边AC相交于点D，E是BC中点，连接DE．
（1）DE与⊙O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AC、AB的长分别是一元二次方程x²-8x+15=0的两个实根，求DE的长．

Answer 1

解：（1）DE与⊙O相切．
理由：连接BD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵E为BC中点，
∴DE=BE=BC，
∴∠EDB=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠OBD=90°，
∴∠BDE+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切．

（2）由题意知AC、AB的长分别是一元二次方程x²-8x+15=0，x₁=5，x₂=3，
在Rt△ABC中，
∵AC＞AB，
∴AC=5，AB=3，
由勾股定理，得，
又ED，EB为⊙O切线，E为BC中点，
∴．
分析：（1）连接BD，OD，首先证得BD⊥AC，然后根据角之间的等量关系得出∠DBE+∠OBD=90°，进而证明DE与⊙O相切；
（2）由AC、AB的长分别是一元二次方程的根，求出AC、AB，然后由勾股定理求出BC，进而求出ED．
点评：本题难度中等，主要是考查解一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系与数量关系间的联系．