Question

如图，直线y=-

3

4

x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（　　）

• A、3≤m≤4
• B、2≤m≤4
• C、0≤m≤

  5

  2

• D、0≤m≤3

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：令y=0求出点B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m-a，求出△OCD和△CPD相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出m，然后求出m的最小值，再根据点P在线段OB上判断出OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，然后写出m的取值范围即可．

解答：解：令y=0，则-

3

4

x+3=0，
解得x=4，
所以，点B的坐标为（4，0），
过点C作CD⊥x轴于D，
设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m-a，
∵∠OCP=90°，
∴△OCD∽△CPD，
∴

CD

OD

=

DP

CD

，
∴CD²=OD•DP，
∴（-

3

4

a+3）²=a（m-a），
整理得，m=

25

16

a+

9

a

-

9

2

，
所以，m≥2

25 16 a• 9 a

-

9

2

=3，
∵点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），
∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，
∴m的取值范围是3≤m≤4．
故选A．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，难点在于列不等式求出m的最小值．