Question

17．（1）观察下列已有的规律，在括号内填上恰当的数．
（2）请根据上题中的“杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空．
①（a+b）=a+b   各项系数之和：1+1=2=a¹
②（a+b）²=a²+2ab+b²各项系数之和：1+2+1=4=2²
③（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³各项系数之和：1+3+3+1=8=2³
④（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴  各项系数之和：2⁴
（3）设（x+1）⁹=a₉x⁹+a₈x⁸+…+a₁x+a₀，求a₀+a₁+a₂+…+a₉的值．
（4）你能在（3）的基础上求出a₀+a₂+a₄+a₆+a₈的值吗？若能，请写出过程．

Answer 1

分析 （1）观察本题的规律，下一行的数据是上一行相邻两个数的和，根据规律填入即可．
（2）通过观察可以看出（a+b）⁴的展开式为4次5项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1，4，6，4，1．
（3）令x=1，即可求得a₀+a₁+a₂+…+a₉的值；
（4）“杨辉三角系数集”的规律可知a₉=1，代入（3）中的式子即可求得．

解答 解：（1）答案为4，6；
（2）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
故答案为4a³b+6a²b²+4ab³，2⁴；
（3）由（x+1）⁹=a₉x⁹+a₈x⁸+…+a₁x+a₀，
令x=1，则a₀+a₁+a₂+…+a₉=2⁹；
（4）∵a₉=1，
∴a₀+a₂+a₄+a₆+a₈=2⁹-1．

点评 本题考查的是整式的混合运算，数字变化的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是本题的关键．