Question

【题目】（本题满分10分）如图， 是⊙的直径， 为⊙的弦，过点作⊥，交的延长线于点．点在上，且．

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若， ，求的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）7

【解析】试题分析：（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；

（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，即可得到结果．

试题解析：（1）连结OB．

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，

又∵BC=PC，

∴∠P=∠CBP，

∵OP⊥AD，

∴∠A+∠P=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，

∵点B在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线，

（2）如图，连结DB．

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP，

∴，即，AP=9，

∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．