Question

15．如图，在直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为（2，0），（0，2）
（1）求线段AB的长；
（2）若点E在AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AF+AE的值；
（3）在第2问的条件下过O作OM⊥EF交AB于M，试确定线段BE、EM、AM的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先根据A点与B点坐标得到OA=OB=2，根据等腰直角三角形的性质，得到AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$；
（2）由OE⊥OF，根据等角的余角相等得到∠BOE=∠AOF，而OB=OA，OE=OF，得到△BOE≌△AOF，则BE=AF，得到AF+AE=BE+AE=AB=2$\sqrt{2}$；
（3）连MF，△OEF为等腰直角三角形并且OM⊥EF，得到OM为EF的垂直平分线，则MF=ME，又∠OAF=∠OBE=45°，即∠FAM=90°，利用勾股定理得到AM²+AF²=MF²，进行等线段代换后即可得到AM²+BE²=ME²．

解答 解：（1）∵B点坐标为（0，2），A点坐标为（2，0），
∴OB=2，OA=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$；

（2）∵OE⊥OF，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOE=∠AOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF（SAS），
∴BE=AF，
∴AF+AE=BE+AE=AB=2$\sqrt{2}$；

（3）线段BE、EM、AM的数量关关系为：AM²+BE²=ME²．
证明：连MF，如图，∵OE⊥OF，且OE=OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∵OM⊥EF，
∴OM为EF的垂直平分线，
∴MF=ME，
又∵△BOE≌△AOF，
∴∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠FAM=90°，
∴AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BE²=ME²．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及勾股定理．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理得出线段之间的关系式．