Question

已知一元二次方程x²-mx+m-2=0的两个实数根为x₁、x₂，且x₁x₂（x₁+x₂）=3，则m的值是________．

Answer 1

3或-1
分析：由一元二次方程x²-mx+m-2=0的两个实数根为x₁、x₂，利用根的判别式得出m为任意实数时，方程都有解，故再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式x₁x₂（x₁+x₂）=3中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解答：∵一元二次方程x²-mx+m-2=0的两个实数根为x₁、x₂，
∴b²-4ac=m²-4（m-2）=m²-4m+4+4=（m-2）²+4≥4＞0，
∴m取任意实数，方程都有解，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=m-2，
代入x₁x₂（x₁+x₂）=3得：m（m-2）=3，
整理得：m²-2m-3=0，即（m-3）（m+1）=0，
解得：m₁=3，m₂=-1，
则m的值为3或-1．
故答案为：3或-1
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，方程有解，设方程的解为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=．