Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形ABC的性质、三角形外角定理以及等量代换等知识证得△ADB∽△EAC；然后由相似三角形的对应边成比例列出比例式

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

（x≠0）；
（2）要使y=

1

x

，即

AB

EC

=

BD

AC

成立，须且只须△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只须∠ADB=∠EAC．又因为∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-

α

2

，∠EAC+∠BAD=β-α，所以90°-

α

2

=β-α，即β-

α

2

=90°．

解答：解：（l）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°．
又∵∠DAE=105°．
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=75°，
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAB+∠ADB，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

（x≠0）；

（2）当α、β满足关系式β-

α

2

=90°时，函数关系式y=

1

x

成立．
理由如下：∵β-

α

2

=90°，
∴β-α=90°-

α

2

．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

α

2

-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，

AB

EC

=

BD

AC

，
∴

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

（x≠0）．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质；利用两角对应相等得到两三角形相似是解决本题的关键．