Question

20．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（　　）
①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP²=AM•AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据等边三角形性质得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根据SAS证△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根据平行线的判定推出即可，再根据等腰三角形性质求出∠BAP=30°，求出∠PMA=90°，即可得出答案．

解答 证明：如图，∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，故②正确，
∴AB∥CQ，故①正确，
∵∠APQ=∠ACQ=60°，∠PAC=∠PAC，
∴△APM∽△ACP，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP²=AC•AM，故③正确，
∵BP=PC，
∴∠BAP=30°，
∴∠PAC=30°，
∵∠APM=60°，
∴∠AMP=90°，
∴PQ⊥AC，故④正确．
故选：D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．