【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,E、F是AD边上的两个动点,且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD交于点G,连接AG交BE于点H,连接DH,下列结论正确的个数是( ) ①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG:S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2.
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ABE和△DCF中, ,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
在△ADG和△CDG中, ,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCF,
∴∠ABE=∠DAG,
∵∠DAG+∠BAH=90°,
∴∠BAE+∠BAH=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE,故③正确,
同法可证:△AGB≌△CGB,
∵DF∥CB,
∴△CBG∽△FDG,
∴△ABG∽△FDG,故①正确,
∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD,
又∵∠DAG=∠FCD,
∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD,tan∠DAG,故④正确
取AB的中点O,连接OD、OH,
∵正方形的边长为4,
∴AO=OH= ×4=2,
由勾股定理得,OD= =2
,
由三角形的三边关系得,O、D、H三点共线时,DH最小,
DH最小=2 ﹣2.
无法证明DH平分∠EHG,故②错误,
故①③④⑤正确,
故选C.
首先证明△ABE≌△DCF,△ADG≌△CDG(SAS),△AGB≌△CGB,利用全等三角形的性质,等高模型、三边关关系一一判断即可.
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【题目】已知抛物线c1的顶点为A(﹣1,4),与y轴的交点为D(0,3).
(1)求c1的解析式;
(2)若直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,求m的值;
(3)若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2 , 平行于x轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答:当n为何值时,l2与c1和c2共有:①两个交点;②三个交点;③四个交点;
(4)若c2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P,使△PAB为等腰三角形.
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【题目】如图,地面上小山的两侧有A,B两地,为了测量A,B两地的距离,让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向,以每分钟40m的速度直线飞行,10分钟后到达C处,此时热气球上的人测得CB与AB成70°角,请你用测得的数据求A,B两地的距离AB长.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:① =
;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是( )
A.①②③④
B.①④
C.②③④
D.①②③
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【题目】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值.
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【题目】某校在艺术节选拔节目过程中,从备选的“街舞”、“爵士”、“民族”、“拉丁”四种类型舞蹈中,选择一种学生最喜爱的舞蹈,为此,随机调查了本校的部分学生,并将调查结果绘制成如下统计图表(每位学生只选择一种类型),根据统计图表的信息,解答下列问题:
类型 | 民族 | 拉丁 | 爵士 | 街舞 |
据点百分比 | a | 30% | b | 15% |
(1)本次抽样调查的学生人数及a、b的值.
(2)将条形统计图补充完整.
(3)若该校共有1500名学生,试估计全校喜欢“拉丁舞蹈”的学生人数.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,则下列判断不正确的是( )
A.△AEE′是等腰直角三角形
B.AF垂直平分EE'
C.△E′EC∽△AFD
D.△AE′F是等腰三角形
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【题目】九 (1)班48名学生参加学校举行的“珍惜生命,远离毒品”只是竞赛初赛,赛后,班长对成绩进行分析,制作如下的频数分布表和频数分布直方图(未完成).余下8名学生成绩尚未统计,这8名学生成绩如下:60,90,63,99,67,99,99,68. 频数分布表
分数段 | 频数(人数) |
60≤x<70 | a |
70≤x<80 | 16 |
80≤x<90 | 24 |
90≤x<100 | b |
请解答下列问题:
(1)完成频数分布表,a= , b= .
(2)补全频数分布直方图;
(3)全校共有600名学生参加初赛,估计该校成绩90≤x<100范围内的学生有多少人?
(4)九 (1)班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一,现选两人参加决赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
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