Question

8．如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接BF、CE，点H、M分别为BF、CE中点
（1）如图（1）当正方形DEFG的边DE、DG分别在正方形ABCD的DA、DC边上，猜想MH、CE关系，并加以证明；
（2）将正方形DEFG旋转至如图（2）所示的位置，其它条件不变，结论是否发生变化？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）①根据题意，猜想：CE=2MH．首先设N是BE的中点，连接MN、HN，然后根据三角形的中位线定理，判断出NH=$\frac{1}{2}$DE，MN=$\frac{1}{2}$CD，MN⊥NH；最后根据勾股定理，分别求出MH、CE的大小，判断出CE=2MH即可．
②猜想MH、CE的位置关系为：MH⊥CE．首先设NH所在的直线分别交AD、BC于点P、Q，则PQ⊥AD，PQ⊥BC；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△HPE≌△CQH，即可判断出HE=CH，再根据点M为CE的中点，即可判断出MH⊥CE．
（2）①根据题意，猜想：CE=2MH．首先设N是BE的中点，连接MN、HN，作EP∥AD交CD的延长线于点P，然后根据三角形的中位线定理，判断出NH=$\frac{1}{2}$DE，MN=$\frac{1}{2}$CD；最后判断出∠HNM=∠EDC，即可判断出△HNM∽△EDC，再根据相似三角形的相似比，判断出CE=2MH即可．
②猜想MH、CE的位置关系为：MH⊥CE．首先延长NM交CD于J，延长HM交CD于I，然后根据△HNM∽△EDC，推得∠NMH=∠DCE，再根据∠MJC=90°，推得∠CMI=90°，即可判断出MH⊥CE．

解答 （1）根据题意，猜想：CE=2MH；
①证明：如图（1），N是BE的中点，连接MN、HN，，
∵点H、N分别为BF、BE中点，
∴NH∥EF，且$NH=\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}DE$；
∵点M、N分别为CE、BE中点，
∴MN∥BC，且$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD$；
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴MN⊥NH，
∴MH=$\sqrt{{MN}^{2}{+NH}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}CD）}^{2}{+（\frac{1}{2}DE）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{CD}^{2}{+DE}^{2}}$，
又∵$CE=\sqrt{{CD}^{2}{+DE}^{2}}$，
∴CE=2MH．

②猜想MH、CE的位置关系为：MH⊥CE．
证明：如图2，NH所在的直线分别交AD、BC于点P、Q，连接HE、CH，，
由①，可得PQ⊥AD，PQ⊥BC，
∴∠HPE=∠CQH，
设四边形ABCD和四边形DEFG的边长分别为a、b，
∵点H为BF的中点，PH∥AB∥EF，
∴PH为梯形EFAB的中位线，点P为AE的中点，
∴PH=$\frac{1}{2}（a+b）$，PE=$\frac{1}{2}$（a-b），
又∵PQ=a，
∴QH=a-$\frac{1}{2}$（a+b）=$\frac{1}{2}（a-b）$，QC=BC-BQ=a-$\frac{1}{2}（a-b）$=$\frac{1}{2}（a+b）$，
∴PE=QH，PH=QC，
在△HPE和△CQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=QH}\\{∠HPE=∠CQH}\\{PH=QC}\end{array}\right.$
∴△HPE≌△CQH，
又∵点M为CE的中点，
∴MH⊥CE，
综上，可得
MH、CE的数量关系为：CE=2MH；MH、CE的位置关系为：MH⊥CE．

（2）根据题意，猜想：CE=2MH；
①证明：如图（3），N是BE的中点，连接MN、HN，作EP∥AD交CD的延长线于点P，
∵点H、N分别为BF、BE中点，
∴NH∥EF，且$NH=\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}DE$；
∵点M、N分别为CE、BE中点，
∴MN∥BC，且$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD$；
∵NH∥EF，
∴∠HNB=∠FEB，
∵EP∥AD，MN∥AD，
∴EP∥MN，
∴∠BNM=∠BEP，
∴∠HNB+∠BNM=∠FEB+∠BEP，
即∠HNM=∠FEP，
∵EP∥AD，
∴∠PED=∠EDA，
又∵∠DEF=∠ADC=90°，
∴∠FEP=∠EDC，
又∵∠HNM=∠FEP，
∴∠HNM=∠EDC，
在△HNM和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{NH=\frac{1}{2}DE}\\{∠HNM=∠EDC}\\{MN=\frac{1}{2}CD}\end{array}\right.$，
∴△HNM∽△EDC，
∴$\frac{MH}{CE}=\frac{NH}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴CE=2MH仍然成立．

②猜想MH、CE的位置关系为：MH⊥CE．
证明：如图4，延长NM交CD于J，延长HM交CD于I，，
由①，可得
△HNM∽△EDC，
∴∠NMH=∠DCE，
又∵∠NMH=∠JMI，
∴∠DCE=∠JMI，
∵GJ⊥CD，
∴∠MJC=90°，
∴∠CMJ+∠DCE=90°，
又∵∠DCE=∠JMI，
∴∠CMJ+∠JMI=90°，
即∠CMI=90°，
∴MH⊥CE，
综上，可得
MH、CE的数量关系为：CE=2MH；MH、CE的位置关系为：MH⊥CE．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及正方形的性质和应用，要熟练掌握．
（4）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．