Question

如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析：延长FD到F′，使DF′=DF，连接AF′、EF′，利用“边角边”证明△ADF′和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF′=BF，全等三角形对应角相等可得∠B=∠DAF′，然后求出∠EAF′=90°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EF=EF′，从而得解．

解答：解：如图，延长FD到F′，使DF′=DF，连接AF′、EF′，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADF′和△BDF中，

AD=BD ∠ADF′=∠BDF DF′=DF

，
∴△ADF′≌△BDF（SAS），
∴AF′=BF，∠B=∠DAF′，
∵∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°，
即∠EAF′=90°，
又∵DE⊥DF，
∴EF′=EF，
∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形，
故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF．

点评：本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题关键，也是本题的难点．