Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=2AD，点E为AB的中点，过点E作EG⊥CD于点G，延长EG、AD相交于点F，连接BG．
（1）求证：EF=CD；
（2）求证：∠F=∠BGE．

Answer 1

证明：（1）过点D作DH⊥BC于H，则∠DHB=∠ABC=∠A=90°，ABHD为矩形，
从而可得：AD=BH，AB=DH，
∵AB=BC=2AD，点E为AB的中点，
∴AE=BE=AB=BC=AD=BH，
∴AE=CH，
∵EG⊥CD，
∴∠DGF=∠HDF=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠F=90°，
∴∠1=∠F，
在△AEF和△HCD中，
∵，
∴△AEF≌△HCD（AAS），
∴EF=CD；

（2）延长FE、CB交于点M，
∵AD∥BC，
∴∠F=∠M，
在△AEF和△BME中，
∵，
∴△AEF≌△BME（AAS），
∴AF=BM=BC，
∵EG⊥CD，
∴BG=CM=BM，
∴∠M=∠BGE=∠F．
分析：（1）过点D作DH⊥BC于H，先得出AE=CH，然后证明∠1=∠F，证明△AEF≌△HCD可得出结论；
（2）延长FE、CB交于点M，证明△AEF≌△BME，得出AF=BM=BC，结合EG⊥CD，可得出结论．
点评：本题考查了梯形、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理及全等三角形的性质．