Question

已知如图∠AOB=45°，OP=1，在OA、OB上任取两点M、N，得△PMN，求△PMN周长的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

解答：解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD=

2

OC=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．