Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.

Answer 1

（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.

试题分析：（1）依据抛物线的解析式直接求得C的坐标，令y=0解方程即可求得A、B点的坐标.
（2）求出矩形PQMN的周长关于点M横坐标的解析式，应用二次函数最值原理求出矩形PQMN的周长时点M横坐标的值，求出此时△AEM的面积.
（3）根据FG=DQ列关于点F横坐标的方程求解即可．
试题解析：（1）由抛物线的解析式令得，∴C（0，3）.
令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=-3或x=1.∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）∵，∴对称轴为x=-1.
设，其中.
∵点P、Q关于直线x=-1对称，设点Q的横坐标为a，
则，∴.∴.
∴
∴矩形PQMN的周长.
∴当x=-2时，矩形PQMN的周长d最大.
此时 .
设直线AC的解析式为，则，解得.
∴直线AC的解析式为.
将x=-2代入，得y=1，∴.
∴.
（3）由（2）知，当矩形PQMN的周长最大时，x=-2，
此时，，与点C重合，∴OQ=3.
由得.
如图，过点D作DK⊥y轴于点K，则DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1.
∴△DKQ是等腰直角三角形，.
∴.
设，则，
∴，解得.
当时，；当时，.
∴点F的坐标为或（1，0）.