Question

11．【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=45°．
【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．
…
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
【灵活运用】
如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 【操作发现】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；
（2）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；
【问题解决】如图②，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解决问题；
【灵活运用】如图③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，只要证明∠GDC=90°，可得CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$，由此即可解决问题；

解答 解：【操作发现】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；

（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB=AB′，∠B′AB=90°，
∴∠AB′B=45°，
故答案为：45°；

【问题解决】如图②，

∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，
∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，即AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，
∵∠APC=90°，
∴AP²+PC²=AC²，即（$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC）²+PC²=7²，
∴PC=2$\sqrt{7}$，
∴AP=$\sqrt{21}$，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•PC=7$\sqrt{3}$；

【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，
∴AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=kAB，
∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
∴∠GDC=90°，
∴CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+25}$．
∴BD=CG=$\sqrt{16{k}^{2}+25}$．

点评 本题考查相似形综合题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．