Question

如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，连接OB、OD．已知∠A=30°，⊙O的半径为4．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°-∠A=60°，
∵DC⊥OA，
∴CD是⊙O的切线，
∴∠BOD=∠AOB=30°，
∵⊙O的半径为4，
即OB=4，
∴BD=OB•tan∠BOD=4×=；

（2）∵在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴AB==4，
∴AD=AB-BD=，
∵DC⊥OA，
∴CD=AD=，
∴AC==4，
∴S_阴影=S_△AOB-S_△ACD-S_扇形OBC=×4×4-×4×-=-π．
分析：（1）由AB是⊙O的切线，∠A=30°，可求得∠AOB的度数，又由DC⊥OA，根据切线长定理，可求得∠BOD的度数，继而可求得BD的长；
（2）由S_阴影=S_△AOB-S_△ACD-S_扇形OBC；即可求得图中阴影部分的面积．
点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、三角函数、扇形的面积以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．