Question

14．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．下列三个结论：①CE=CB；②AE=$\sqrt{2}$OE；③OF=$\frac{1}{2}$CG．其中正确的结论只有（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，BE平分∠ABO，易求得∠EBO=22.5°，即可得∠CBE=∠CEB=67.5°，即可证得①CE=CB正确；
由CF⊥BE，由三线合一，可得∠ECG=∠BCG=22.5°，EF=BF，易证得△ABE≌△BCG，即可得AE=BG，由△OEG是等腰直角三角形，可得EG=$\sqrt{2}$OF，又易证得△ECG≌△BCG，即可证得AE=$\sqrt{2}$OE，②正确；
由∠AOB=90°，EF=BF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得OF=$\frac{1}{2}$CG，③正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，
∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵CF⊥BE，
∴∠ECG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCO=22.5°，EF=BF，
∵∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO=22.5°，
∴∠ABE=∠BCG，
∵AB=BC，∠EAB=∠GBC=45°，
在△ABE和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠BCG}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠EAB=∠GBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴AE=BG，BE=CG，
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴EG=$\sqrt{2}$OE，
在△ECG和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=BC}&{\;}\\{∠ECG=∠BCG}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△BCG（SAS），
∴BG=EG，
∴AE=EG=$\sqrt{2}$OE；
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$CG．
故③正确．
故正确的结论有①②③．
故选D．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，此题难度较大，证明三角形全等是解决问题的关键．